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Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel α α {\displaystyle \alpha } , β β {\displaystyle \beta } , γ γ {\displaystyle \gamma } ) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

• Halbwinkelsätze in der Ebene

• Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

• Quellen

• sin ⁡ ⁡ α α 2 = ( s − − b ) ( s − − c ) b c {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}}}

• cos ⁡ ⁡ α α 2 = s ( s − − a ) b c {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}}}

• tan ⁡ ⁡ α α 2 = ( s − − b ) ( s − − c ) s ( s − − a ) {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}}}

wobei s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

• cot ⁡ ⁡ α α 2 = s − − a ρ ρ = s ( s − − a ) ( s − − b ) ( s − − c ) {\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\rho }}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}}}

ist auch als Kotangenssatz bekannt. ρ ρ {\displaystyle \rho } bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

• sin ⁡ ⁡ α α 2 = sin ⁡ ⁡ ( s − − b ) sin ⁡ ⁡ ( s − − c ) sin ⁡ ⁡ b sin ⁡ ⁡ c {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin b\,\sin c}}}}

• cos ⁡ ⁡ α α 2 = sin ⁡ ⁡ s sin ⁡ ⁡ ( s − − a ) sin ⁡ ⁡ b sin ⁡ ⁡ c {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\,\sin(s-a)}{\sin b\,\sin c}}}}

• tan ⁡ ⁡ α α 2 = sin ⁡ ⁡ ( s − − b ) sin ⁡ ⁡ ( s − − c ) sin ⁡ ⁡ s sin ⁡ ⁡ ( s − − a ) {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin s\,\sin(s-a)}}}}

wobei s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 622.

• F. Specht: Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks. In: Archiv der Mathematik und Physik. 2. Reihe. Mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. Band XIII, 1894, S. 223–224 (Eintrag zbMATH Open).